考える坂本

坂本は生命維持と認識と価値判断と行動をします

数理論理的な風景

この記事では数学(など1階論理で扱える体系)が論理でどのように捉えられるのかを整理したいと思う。

(1)世界はもので構成されている
(2)ものどうしの間にはある種の事実が成立している
(3)複数のものから別のものを作る操作が存在する

まず、世界は(一つ以上の)もので構成されている。例えば自然数論でいえば、世界は 0, 1, 2, … という数で構成されている。そしてこれらのものの間にある種の事実が成立している。例えば、14と2と7の間には、「14は2と7の積に因数分解できる」という事実が成立する。このように一般には k個のものの間で成立する事実が(多数)存在している。さらに、ものとものを組み合わせて別のものを作成するという操作が存在する。例えば、1と2という数字から3という数字を作る操作として足し算が存在する。つまり、1,2 → 3 というような操作が存在する。なお、(2)と(3)は片方が存在しない(片方を考慮しなくてもよい)場合もある。ただ、(2)と(3)の両方がないともの同士が独立になってしまうのであまり考える意味がない。

(4)事実から、可能な事態を想定できる
(5)事態の非成立を想定できる

(4)以降が、論理学の登場である。事実から事態を想定する。例えば、「14は2と7の積である」という事実から「15は2と7の積である」というような事態を想定できる。事態は成立すれば事実だが成立しないこともある。このように、事態の非成立として、論理学では否定「¬」という概念を持つ。なお、「ある事態が成立しているならば、・・・・」という仮定を持ち出すこともある。

(5)ある事態と別の事態の組み合わせから、別の事態を構成できる

事態間にもある種の関連がある。例えば、「14は2と7の積に因数分解できる」という事態と、「14は3を因子にもつ」という事態から、別の事態「14は2と7の積に因数分解でき、かつ14は3を因子に持つ」という事態を構成できる。このように、論理学では、かつ「∧」およびまたは「∨」などの概念を持つ。ちなみに先の例では、一つ目の事態は成立しており、二つ目の事態は非成立である。これらをかつで結んだ事態は非成立である。このように論理学では「∧」や「∨」という概念を持つ。

(6)ある事態から、ものを量化する事態を想定できる

事態は、「14は2と7の積に因数分解できる」などのように複数のもので構成されている。このもののうちどれかを量化(全てのxや、あるx)した事態を想定できる。例えば「全てのものは2と7の積に因数分解できる」であるとか、「あるものは2と7の積に因数分解できる」であるとか、「14はあるものと7の積に因数分解できる」とか、「14はすべてのものと7の積に因数分解できる」など。このように、論理学では、事態を量化した事態を構成する。そのため、論理学では量化「∀∃」という概念を持つ。

(7)事態の成立可能性を論じるのが思考(数学・論理学)である

(6)までを受けて、常に成立する事態(例えば、「2でわりきれるものと2でわりきれるものの和は2でわりきれる」)の存在を追及したりするのが数学である。また、あるものに関して成立する事態(たとえば、x+4=0が成立する xが存在する)を追及したりもする。

なお、本稿では微妙にウィトゲンシュタイン論理哲学論考を意識した。