考える坂本

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ラッセルのパラドクスは素朴集合論の矛盾ではない

ラッセルのパラドクスは素朴集合論の矛盾ではない。そうではなく、ある論理学の一つの妥当式の意味論的な読み込みにおける間違いである。

論理式の妥当式に「⊨¬∃u∀x(x∈u↔x∉x)」というものがある。この妥当式の証明は、「∈の意味」に対して開かれている(この妥当式の証明に∈の意味を使っていない)。すなわち、∈の意味として「属する」と読めばラッセルのパラドックスになるが、∈の意味として「・・・は嘘つきだという」と読めばクレタ人のパラドクス(嘘つきは、自分が嘘つきだという言明を言えない)になる。ラッセルはクレタ人のパラドックスを再発見したに過ぎない。

Wikipedia 自己言及のパラドクス では色々な議論がなされているが、上記の説明が一番ぴったりとくるはずだ。

参考文献:Rautenberg A Concise Introduction to mathematical logic