考える坂本

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数理論理対話

—- 数学を論理学で議論できると聞いた

論理学 – とりわけ一階述語論理 – を援用して数学での思考(証明や演繹など)を言語化できる。言語化とは、紙の上に書くインクの染みを作るというような意味であり、ウィトゲンシュタイン的に言えば像を作ることができるということである。

—- 日本語ならぬ数学語を論理学が提供するするようなものか?

概ねその通り。日本語では文章を重ねて話を紡ぐが、同様に論理学の言語で数学的言明を記述できる。

—- 言語だから文法とかがある

そう。でも言語の前に、構造の話が先。言語は構造を持つから。構造は、(1)ドメイン(2)関係の集合(3)操作の集合(4)定数の集合 以上4つからなる。ドメインは必要だけど、他の全部はある必要はなく、例えば関係しかない場合もあれば、逆に操作と定数しかない場合もある。一般的にはどちらも存在する。これは、実際には、L構造という2つ組、(ドメイン, 論理記号の集合L )のようにまとめられる。論理記号には一階述語論理では「¬∧∀=」を用い、必要に応じて「+<◦∈01e」などが追加される。Lには前述の関係や操作なども含まれる。

—- そして言語を作るわけか?

ここでは一階言語を組み立てる。まずアルファベットを定義する。その後に項を定義する。そして論理式を定義する。文を定義する。というように順序だてて一階言語のシンタクスを定義する。式の中には、自由変数が含まれている場合があり、その場合式が述語になるという仕組み。

—- 統語論の後は意味論であると

そう。解釈を与える、もしくはモデルを与えるということ。これによって式の充足関係が定義でき、論理的帰結という概念に至る。